O próprio componente TEdit possui um método para copiar o texto 
para a área de transferência (clipboard). No entanto este 
método copia apenas o texto selecionado, de forma que temos
que chamar o método SelectAll() antes de chamar 
CopyToClipboard().

Veja o exemplo:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  Edit1.SelectAll;
  Edit1.CopyToClipboard;
end;